✎☛ Étudier l'appartenance d'un point à une droite

Méthode

Soit $d$ une droite de l'espace passant par $\text{A}(x_{\text{A}};y_{\text{A}};z_{\text{A}})$ et de vecteur direct eur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ .
Dire que  $\text{B}(x_{\text{B}};y_{\text{B}};z_{\text{B}})$ appartient à $d$ signifie que $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires, autrement dit qu'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}=t\overrightarrow{u}$ .

• Méthode directe
  On regarde si les coordonnées des vecteurs   $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$ et $\overrightarrow{u}$ sont proportionnelles.
  
• Méthode avec une représentation paramétrique de la droite
  On remplace $x$ , $y$ et $z$ par les coordonnées de $\text{B}$ dans la représentation paramétrique de la droite puis on résout chaque équation du système.
  

Énoncé

La représentation paramétrique d'une droite $d$ est : $\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=t-1\\ z=t+2\end{array},t\in \mathbb{R}$ .
1. Le point $\text{M}(2;0;2)$ appartient-il à $d$  ?
2. Le point $\text{P}(-6;-4;-1)$ appartient-il à $d$  ?

Solution

On dispose d'une représentation paramétrique de la droite $d$ .

1. On remplace $x$ , $y$ et $z$   par les coordonnées du point $\text{M}$ puis on résout  $\{\begin{array}{l}2=2t\\ 0=t-1\\ 2=t+2\end{array}$ ce qui donne :  $\{\begin{array}{l}t=1\\ t=1\\ t=0\end{array}$ .
On n'obtient pas la même valeur de $t$ pour les trois équations, donc   $\text{M}\notin d$ .

2. On remplace $x$ , $y$ et $z$   par les coordonnées du point $\text{P}$ à la place de   $x$ , $y$ et $z$   puis on résout  $\{\begin{array}{l}-6=2t\\ -4=t-1\\ -1=t+2\end{array}$ ce qui donne :  $\{\begin{array}{l}t=-3\\ t=-3\\ t=-3\end{array}$ .
On obtient la même valeur de  $t$ pour les trois équations, donc   $\text{P}\in d$ .